Para datos no agrupados, la media de la población es la suma de todos los valores en ella dividida entre el total de valores en la población:
 

donde µ representa la media de la población.
N es el número total de elementos en la población.
X representa cualquier valor en particular.
∑ indica la operación de sumar.

 

Ejemplo

Parámetro: una característica de una población.
La familia Orduz  posee cuatro autos. Los datos son los kilómetros  recorridos por cada uno: 56 000, 23 000, 42 000 y 73 000. Encuentre el promedio de kilómetros de los cuatro autos.
Esto es (56 000 + 23 000 + 42 000 + 73 000)/4 = 48 500

Para datos no agrupados, la media de una muestra es la suma de todos los valores divididos entre el número total de los mismos:

 

donde denota la media muestral
N es el número total de valores en la muestra.

Ejemplo:

Dato estadístico: una característica de una muestra.
Una muestra de cinco ejecutivos recibió la siguiente cantidad en bonos el año pasado: $14000, $15000, $17000, $16000 y $15000.

Encuentre el promedio en bonos para los cinco ejecutivos.

Como estos valores representan la muestra de 5 ejecutivos, la media de la muestra es
(14000 + 15000 + 17000 + 16000 + 15000) / 5 = $15400.

• Todo conjunto de datos de nivel de intervalo y de nivel de razón tiene un valor medio.
• Al evaluar la media se incluyen todos los valores.
• Un conjunto de valores sólo tiene una media.
• La cantidad de datos a evaluar rara vez afecta la media.
• La media es la única medida de ubicación donde la suma de las desviaciones de cada valor con respecto a la media, siempre es cero.

Ejemplo:

Considere el conjunto de valores: 3, 8 y 4. La media es 5.

Para ilustrar la quinta propiedad,

(3 - 5) + (8 - 5) + (4 - 5) = - 2 + 3 - 1 = 0.

En otras palabras,

La media ponderada de un conjunto de números X1, X2, ..., Xn, con las ponderaciones correspondientes w1, w2, ...,wn, se calcula con la fórmula:

Ejemplo:

Durante un periodo de una hora en una tarde calurosa de un sábado, el cantinero Julio sirvió cincuenta bebidas.

Calcule la media ponderada de los precios de las bebidas.

(Precio ($), cantidad vendida): (.50,5), (.75,15), (.90,15), (1.10,15).

La media ponderada es:

$(.50 x 5 + .75 x 15 + .90 x 15 + 1.10 x 15) / (5 + 15 + 15 + 15) =

$43.75/50 = $0.875

Mediana: es el punto medio de los valores después de ordenarlos de menor a mayor, o de mayor a menor. La misma cantidad de valores se encuentra por arriba de la mediana que por debajo de ella.

Nota: para un conjunto con un número par de números, la mediana será el promedio aritmético de los dos números medios.

 

Ejemplo:

Calcule la mediana para los siguientes datos.

La edad de una muestra de cinco estudiantes es: 21, 25, 19, 20 y 22.
Al ordenar los datos de manera ascendente quedan: 19, 20, 21, 22, 25.

La mediana es 21.

• La mediana es única para cada conjunto de datos.
• No se ve afectada por valores muy grandes o muy pequeños, y por lo tanto es una medida valiosa de tendencia central cuando ocurren.
• Puede obtenerse para datos de nivel de razón, de intervalo y ordinal.
• Puede calcularse para una distribución de frecuencias con una clase de extremo abierto, si la mediana no se encuentra en una de estas clases.

La moda es el valor de la observación que aparece con más frecuencia.

 

Ejemplo:

las calificaciones de un examen de diez estudiantes son:

81, 93, 84, 75, 68, 87, 81, 75, 81, 87.

Como la calificación 81 es la que más ocurre, la calificación modal es 81.

La media geométrica (MG) de un conjunto de n números positivos se define como la raíz n-ésima del producto de los n valores. Su fórmula es:

 

La media geométrica se usa para encontrar el promedio de porcentajes, razones, índices o tasas de crecimiento.

 

Ejemplo

 

Las tasas de interés de tres bonos son 5%, 7% y 4%.

La media geométrica es = 5.192.

 

La media aritmética es (6 + 3 + 2)/3 = 5.333.

La MG da una cifra de ganancia más conservadora porque no tiene una ponderación alta para la tasa de 7%.

 

Otra aplicación de la media geométrica es determinar el porcentaje promedio del incremento en ventas, producción u otros negocios o series económicas de un periodo a otro.

La fórmula para este tipo de problema es:

 

Ejemplo

El número total de mujeres inscritas en colegios americanos aumentó de 755 000 en 1986 a 835 000 en 1995.

 

Aquí n = 10, así (n - 1) = 9.

Es decir, la media geométrica de la tasa de crecimiento es 1.27%.

 

La media de una muestra de datos organizados en una distribución de frecuencias se calcula mediante la siguiente fórmula:

Ejemplo:

Una muestra de diez cines en una gran área metropolitana dio el número total de películas exhibidas la semana anterior.

Calcule la media de las películas proyectadas.
 

Películas exhibidas	Frecuencia, f	Punto medio de clase X	(f)(X)
1-2	1	1.5	1.5
3-4	2	3.5	7.5
5-6	3	5.5	16.5
7-8	1	7.5	7.5
9-10	3	9.5	28.5
total	10		61

61/10 = 6.1 películas

La mediana de una muestra de datos organizados en una distribución de frecuencias se calcula mediante la siguiente fórmula:

Mediana = L + [(n/2 - FA)/f] (i)

donde L es el límite inferior de la clase que contiene a la mediana, FA es la frecuencia acumulada que precede a la clase de la mediana, f es la frecuencia de clase de la mediana e i es el intervalo de clase de la mediana.

Para determinar la clase de la mediana de datos agrupados:
Elabore una distribución de frecuencias acumulada.
Divida el número total de datos entre 2.
Determine qué clase contiene este valor.

Por ejemplo, si n=50, 50/2 = 25, después determine qué clase contiene el 25° valor (la clase de la mediana).

La clase de la mediana es 5 - 6, ya que contiene el 5° valor (n/2 = 5)

De la tabla, L = 5, n = 10, f = 3, i = 2, FA = 3.

Así, mediana = 5 + [((10/2) - 4)/3](2) = 6.33

La moda de los datos agrupados se aproxima por el punto medio de la clase que contiene la frecuencia de clase mayor.

Las modas en el ejemplo de la Mediana de datos agrupados son 5.5 y 9.5. Cuando dos valores ocurren una gran cantidad de veces, la distribución se llama bimodal, como en dicho ejemplo.

Distribución simétrica :

sesgo cero moda = mediana = media

 

 

Distribución con asimetría positiva:

sesgo a la derecha: media y mediana se encuentran a la derecha de la moda.
moda < mediana < media

 

 

 

Distribución con asimetría negativa:

sesgo a la izquierda: media y mediana  están a la izquierda de la moda.

media < mediana < moda

 

Nota

Si se conocen dos promedios de una distribución de frecuencias con sesgo moderado, el tercero se puede aproximar.
moda = media - 3(media - mediana)
media = [3(mediana) - moda]/2
mediana = [2(media) + moda]/3